Một số bất đẳng thức đã được chứng minh thường sử dụng để để giải các bài tập BĐT cơ bản và cải thiện trong chương trình Toán THCS.

Bạn đang xem: Các bất đẳng thức thường dùng

Bất đẳng thức vào chương trình Toán trung học cơ sở lớp (6, 7, 8, 9) là một dạng toán hay với khó. Những bài tập chứng minh BĐT thường là bài bác cuối cùng trong các đề thi để phân loại học sinh, việc chứng minh bất đẳng thức thcs thi học sinh giỏi cấp quận (huyện), tỉnh, thành phố.

Xem thêm: Trị Mụn Kem Đánh Răng - Có Thể Trị Mụn Bằng Kem Đánh Răng Không

Bất đẳng thức trung học cơ sở cơ bản với nâng cao

Các bất đẳng thức cấp 2 thường sử dụng là:

1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means):

Với các bộ số

*
ko âm ta có:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Ta tất cả 3 dạng thường gặp của bđt này là.

Dạng 1:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="35" width="261" style="vertical-align: -12px;">

Dạng 2:

*
a_1a_2…a_n" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="270" style="vertical-align: -5px;">

Dạng 3:

*

Dấu “=” xảy ra lúc

*

Đối với BĐT này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM cho 2 số với 3 số

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)

Dạng tổng quát: đến là 2n số thực tùy ý khi đó

Dạng 1:

*
(1)

Dạng 2:

*
(2)

Dạng 3:

*
(3)

Dấu “=” xảy ra ở (1)(2)

*

Dấu “=” xảy ra ở (3)

*

Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0

3. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel tuyệt còn gọi là BĐT Schwarz

Cho là các số >0

Ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)

Dạng tổng quát mắng Nếu

*

Hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Nếu

*

hoặc

*

Dạng 1:

*

Dạng 2:

*

Bất đẳng thức Chebyshev ko được sử dụng trực tiếp nhưng mà phải chứng minh lại bằng bí quyết xét hiệu

Bất đẳng thức Chebyshev đến dãy số sắp thứ tự, bởi đó nếu những số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử bao gồm quan hệ thứ tự giữa các số.

5. Bất đẳng thức Bernoulli

Với

*
-1;rge 1vee rle 0Rightarrow (1+x)^rge 1+rx" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="19" width="328" style="vertical-align: -5px;">

Nếu

*
r>0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="73" style="vertical-align: -2px;"> thì
*

Bất đẳng thức này còn có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM

6. Bất đẳng thức Netbitt

Ở đây mình chỉ nêu dạng thường dùng

Với x,y,z là các số thực >0

Bất đẳng thức Netbitt 3 biến:

*

Dấu “=” xảy ra lúc x=y=z>0

BĐT Netbitt 4 biến:

*

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=d>0

7. Bất đẳng thức mức độ vừa phải cộng – vừa đủ điều hòa AM-HM (Arithmetic Means – Hamonic Means)

Nếu

*
là những số thực dương thì

*

Dấu “=” xảy ra khi

*

8. Bất đẳng thức Schur

Dạng thường gặp

Cho a,b,c là những số ko âm

*

*
với r là số thực dương

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 cùng b=c và các hoán vị

9. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Với mọi số thực x,y ta có

*

Đẳng thức xảy ra lúc x,y cùng dấu hay

*

Với mọi số thực x,y ta có

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

*

10. Bất đẳng thức Mincopxki

Với 2 bộ n số

*
và
*
thì :

Dạng 1:

*

Dạng 2: đến x,y,z,a,b,c là những số dương ta có

*
a b c+sqrt<4>x y z leq sqrt<4>(a+x)(b+y)(c+z) sqrta c+sqrtb d leq sqrt(a+b)(c+d)" title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="538" style="vertical-align: -6px;">